ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ВЫПУКЛОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 

Яремко Олег Эмануилович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра компьютерных технологий, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: yaremki@mail.ru
Яремко Наталия Николаевна, доктор педагогических наук, профессор, кафедра математического образования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: yaremki@yandex.ru
Могилева Елена Сергеевна, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: elenasergivan@yandex.ru 

517.44+517.22 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-2-2 

Актуальность и цели. Метод интегральных преобразований является одним из важнейших аналитических методов математического моделирования. На его основе разрабатываются численные методы и вычислительные алгоритмы. Свойства изображений косвенным образом отражают свойства оригиналов. Иногда, например для изображений Фурье, эти свойства содержат в себе новую информацию об оригинале. Статья посвящена исследованию логарифмической выпуклости изображения для неотрицательного оригинала.
Материалы и методы. Методы информационной геометрии позволили впервые установить свойства интегральных преобразований Фурье исследованием соответствующей информационной матрицы Фишера. В получении результатов были также использованы методы теории интегральных преобразований Лапласа, Меллина, Вейерштрасса и др.
Результаты. Найдена формула для информационной матрицы Фишера и тензора деформации для рандомизированных семейств распределений, связанных с интегральными преобразованиями Лапласа, Меллина, Вейерштрасса. Установлена логарифмическая выпуклость изображения для неотрицательного оригинала. Предложено новое доказательство логарифмической выпуклости Гамма-функции и неравенства о моментах распределения.
Выводы. Предложенные методы могут быть полезны при изучении специальных функций математической физики, в теории интегралов дробного порядка. Наличие явного выражения информационной матрицы важно для применений в статистике. 

Ключевые слова

логарифмическая выпуклость, интегральное преобразование, плотность распределения, матрица Фишера 

 Скачать статью в формате PDF

1. Баврин, И. И. Статистические структуры, порождаемые рандомизированными плотностями распределения / И. И. Баврин, В. И. Паньженский, О. Э. Яремко // Чебышевский сборник. – 2015. – Т. 16, № 4. – С. 28–40.
2. Рао, С. Р. Линейные статистические методы и их применения / С. Р. Рао. – Москва : Наука, 1968. – 548 c.
3. Barndorff, N. O. Information and exponential families in statistical theory. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics / O. N. Barndorff. – Chichester : John Wiley & Sons, 1978. – 238 p.
4. Brychkov, Y. A. Integral Transforms of Generalized Functions, Chapter 5 / Y. A. Brychkov, A. P. Prudnikov. – New York-London, CRC Press, 1989. – 342 p.
5. Ahmed, I. Z. Handbook of Function and Generalized Function Transformations, Chapter 18 / I. Z. Ahmed. – Taylor & Francis, CRC Press, 1996. – 672 p.
6. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2 т. / В. Феллер. – Москва : Мир, 1984. – Т. 1. – 511 с.
7. Podlubny, I. Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering / I. Podlubny. – Academic Press, 1998. – 340 p.
8. Bilodeau, G. G. The Weierstrass Transform and Hermite Polynomials / G. G. Bilodeau // University of North Carolina, Duke Mathematical Journal. – 1962. – Vol. 129. – P. 293–308.
9. Carslaw, H. S. Conduction of Heat in Solids / H. S. Carslaw, J. C. Jaeger. – 2nd ed. – Oxford : Oxford University Press, 1959. – 510 p.
10. Courant, R. Methods of Mathematical Physics, vol. II / R. Courant, D. Hilbert. – New York, Inter science (Wiley), 1962. – 575 p.